Dowody zalozeniowe KRZ, Logika i Semiotyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Dowody założeniowe twierdzeń KRZ - przykłady stosowania reguł pierwotnych oraz twierdzeń w dowodzeniu. (Postarajcie się Państwo uczyć tych reguł na zasadzie np.: reguła odrywania (RO) jest to reguła, która głosi, że jeżeli w pewnym wierszu dowodowym mamy implikację o poprzedniku F i następniku Y, w innym zaś (na gruncie tego samego dowodu) wyrażenie, które jest poprzednikiem tej implikacji – czyli wyrażenie F, to jako nowy wiersz do dowodu można wpisać następnik tej implikacji - czyli wyrażenie Y ;
reguła opuszczania alternatywy (OA) głosi, że jeżeli mamy w pewnym wierszu dowodowym alternatywę, a w innym negację jej pierwszego składnika, to jako nowy wiersz do dowodu możemy dołączyć drugi składnik tej alternatywy etc.).
Sposób odczytywania reguł mieliście Państwo podany na wykładzie.
Â
Prawo sylogizmu warunkowego
(p ® q) ® [(q ® r) ® (p ® r)]
Dowód:
1.     p ® q  zał.
2.     q ® r  zał.
3.     p  zał.
4.     q  RO: 1, 3
r  RO: 2, 4   Q.E.D.
Â
p Ú q ® (~q ® p)
Dowód:
1.     p Ú q  zał.
2.     ~q  zał.
3.     ~p  z.d.n.
4.     q  OA: 1, 3
sprzeczność: 2, 4  Q.E.D.
Â
Prawo mnożenia implikacji stronami:
(p ® q) Ù (r ® s) ® (p Ù r ® q Ù s)
Dowód:
1.     (p ® q) Ù (r ® s) zał.
2.     p Ù r zał.
3.     p ® q  OK: 1
4.     r ® s  OK: 1
5.     p  OK: 2
6.     r  OK: 2
7.     q  RO: 3, 5
8.     s  RO: 4, 6
q Ù s  DK: 7, 8     Q.E.D.
 Â
Â
Przykład dowodu twierdzeń postaci:
A ® (B Ù C)
Dowód:
1. A  zał.
2. A ® B   twierdzenie
3. A ® C  twierdzenie
4. BÂ Â RO: 2, 1
5. CÂ Â RO: 3, 1
   B Ù C   DK: 4,5    Q.E.D.
Â
(p Ú q ® r) ® (p ® r) Ù (q ® r)
Dowód:
1.     (p Ú q ® r) zał.
2.     (p Ú q ® r) ® (p ® r)  twierdzenie
3.     (p Ú q ® r) ® (q ® r)  twierdzenie
4.     p ® r  RO: 2,1
5.     q ® r  RO: 3,1
     (p ® r) Ù (q ® r)  DK: 4,5    Q.E.D.
Â
Dowód twierdzenie pomocniczego (2 wiersz dowodu):
(p Ú q ® r) ® (p ® r)Â
Dowód:
1. p Ú q ® r   zał.
2. p  zał.
3. p Ú q   DA: 2
   r  RO: 1, 3     Q.E.D.
Â
Dowód twierdzenia pomocniczego (3 wiersz dowodu):
(p Ú q ® r) ® (q ® r)
Dowód:
1. p Ú q ® r  zał.
2. q  zał.
3. p Ú q  DA: 2
   r  RO: 1.3    Q.E.D.
 Â
Dowody twierdzeń postaci równoważności A ≡ B:
A ≡ B
1. A ® B twierdzenie
2. B ® A twierdzenie
   A ≡ B DE: 1, 2    Q.E.D.  Â
Â
Prawo transpozycji:
(p ® q) ≡ (~q ® ~p)
Dowód:
1. (p ® q) ® (~q ® ~p)  twierdzenie
2. (~q ® ~p) ® (p ® q)  twierdzenie
   (p ® q) ≡ (~q ® ~p)  DE: 1,2    Q.E.D.
Â
Dowód twierdzenia pomocniczego (wiersz 1)
(p ® q) ® (~q ® ~p)Â
Dowód:
1. p ® q  zał.
2. ~q  zał.
3. p  z.d.n.
4. q  RO: 1, 3
   sprzeczność: 2, 4    Q.E.D.
Â
Dowód twierdzenia pomocniczego (wiersz 2)
(~q ® ~p) ® (p ® q) Â
Dowód:
1.     ~q ® ~p  zał.
2. p  zał.
3. ~q  z.d.n.
4. ~p  RO: 1, 3
    sprzeczność: 2, 4
Â
Prawa De Morgana: prawo negowania alternatywy oraz prawo negowania koniunkcji
Prawo negowania alternatywy
~(p Ú q) ≡ (~p Ù ~q)
Dowód:
1. ~(p Ú q) ® (~p Ù ~q)  twierdzenie 1
2. (~p Ù ~q) ® ~(p Ú q)  twierdzenie 2
          ~(p Ú q) ≡ (~p Ù ~q)  DE: 1, 2   Q.E.D.
Â
Dowody twierdzeń zastosowanych w powyższym dowodzie:
Dowód twierdzenia 1
~(p Ú q) ® (~p Ù ~q)
Dowód:
1.     ~(p Ú q) zał.
2.     ~(p Ú q) ® ~p  twierdzenie 3
3.     ~(p Ú q) ® ~q  twierdzenie 4
4.     ~p  RO: 2, 1
5.     ~q  RO: 3, 1
     ~p Ù ~q  DK: 4, 5     Q.E.D.Â
...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]