Dowody zalozeniowe KRZ, Logika i Semiotyka

[ Pobierz całość w formacie PDF ]

Dowody założeniowe twierdzeń KRZ - przykłady stosowania reguł pierwotnych oraz twierdzeń w dowodzeniu. (Postarajcie się Państwo uczyć tych reguł na zasadzie np.: reguła odrywania (RO) jest to reguła, która głosi, że jeżeli w pewnym wierszu dowodowym mamy implikację o poprzedniku F i następniku Y, w innym zaś (na gruncie tego samego dowodu) wyrażenie, które jest poprzednikiem tej implikacji – czyli wyrażenie F, to jako nowy wiersz do dowodu można wpisać następnik tej implikacji - czyli wyrażenie Y ;

reguła opuszczania alternatywy (OA) głosi, że jeżeli mamy w pewnym wierszu dowodowym alternatywę, a w innym negację jej pierwszego składnika, to jako nowy wiersz do dowodu możemy dołączyć drugi składnik tej alternatywy etc.).

Sposób odczytywania reguł mieliście Państwo podany na wykładzie.

 

Prawo sylogizmu warunkowego

(p ® q) ® [(q ® r) ® (p ® r)]

Dowód:

1.      p ® q   zał.

2.      q ® r   zał.

3.      p   zał.

4.      q   RO: 1, 3

r   RO: 2, 4    Q.E.D.

 

p Ú q ® (~q ® p)

Dowód:

1.      p Ú q   zał.

2.      ~q   zał.

3.      ~p   z.d.n.

4.      q   OA: 1, 3

sprzeczność: 2, 4   Q.E.D.

 

Prawo mnożenia implikacji stronami:

(p ® q) Ù (r ® s) ® (p Ù r ® q  Ù s)

Dowód:

1.      (p ® q) Ù (r ® s) zał.

2.      p Ù r zał.

3.      p ® q   OK: 1

4.      r ® s   OK: 1

5.      p   OK: 2

6.      r   OK: 2

7.      q   RO: 3, 5

8.      s   RO: 4, 6

q Ù s   DK: 7, 8      Q.E.D.

  

 

Przykład dowodu twierdzeń postaci:

A ® (B Ù C)

Dowód:

1. A   zał.

2. A ® B    twierdzenie

3. A ® C   twierdzenie

4. B   RO: 2, 1

5. C   RO: 3, 1

    B Ù C    DK: 4,5     Q.E.D.

 

(p Ú q ® r) ® (p ® r) Ù (q ® r)

Dowód:

1.      (p Ú q ® r) zał.

2.      (p Ú q ® r) ® (p ® r)   twierdzenie

3.      (p Ú q ® r) ® (q ® r)   twierdzenie

4.      p ® r   RO: 2,1

5.      q ® r   RO: 3,1

      (p ® r) Ù (q ® r)   DK: 4,5     Q.E.D.

 

Dowód twierdzenie pomocniczego (2 wiersz dowodu):

(p Ú q ® r) ® (p ® r) 

Dowód:

1. p Ú q ® r    zał.

2. p   zał.

3. p Ú q    DA: 2

    r   RO: 1, 3      Q.E.D.

 

Dowód twierdzenia pomocniczego (3 wiersz dowodu):

(p Ú q ® r) ® (q ® r)

Dowód:

1. p Ú q ® r   zał.

2. q   zał.

3. p Ú q   DA: 2

    r   RO: 1.3     Q.E.D.

  

Dowody twierdzeń postaci równoważności A ≡ B:

A ≡ B

1. A ® B twierdzenie

2. B ® A twierdzenie

    A ≡ B DE: 1, 2     Q.E.D.   

 

Prawo transpozycji:

(p ® q) ≡ (~q ® ~p)

Dowód:

1. (p ® q) ® (~q ® ~p)   twierdzenie

2. (~q ® ~p) ® (p ® q)   twierdzenie

    (p ® q) ≡ (~q ® ~p)   DE: 1,2     Q.E.D.

 

Dowód twierdzenia pomocniczego (wiersz 1)

(p ® q) ® (~q ® ~p) 

Dowód:

1. p ® q   zał.

2. ~q   zał.

3. p   z.d.n.

4. q   RO: 1, 3

    sprzeczność: 2, 4     Q.E.D.

 

Dowód twierdzenia pomocniczego (wiersz 2)

(~q ® ~p) ® (p ® q)  

Dowód:

1.      ~q ® ~p   zał.

2. p   zał.

3. ~q   z.d.n.

4. ~p   RO: 1, 3

     sprzeczność: 2, 4

 

Prawa De Morgana: prawo negowania alternatywy oraz prawo negowania koniunkcji

Prawo negowania alternatywy

~(p Ú q) ≡ (~p Ù ~q)

Dowód:

1. ~(p Ú q) ® (~p Ù ~q)   twierdzenie 1

2. (~p Ù ~q) ® ~(p Ú q)   twierdzenie 2

           ~(p Ú q) ≡ (~p Ù ~q)   DE: 1, 2    Q.E.D.

 

Dowody twierdzeń zastosowanych w powyższym dowodzie:

Dowód twierdzenia 1

~(p Ú q) ® (~p Ù ~q)

Dowód:

1.      ~(p Ú q) zał.

2.      ~(p Ú q) ® ~p   twierdzenie 3

3.      ~(p Ú q) ® ~q   twierdzenie 4

4.      ~p   RO: 2, 1

5.      ~q   RO: 3, 1

      ~p Ù ~q   DK: 4, 5      Q.E.D. 

...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • eldka.opx.pl